白俄超第三轮
话不多说，白俄超今晚开始第三轮，2020赛季头两轮，只出了一场平局，这场平局到第二轮结束已经有13场了。我的数据统计白俄超平局最长遗漏是18场，所以不出意外，在接下来的五场会出现本赛季第二个平局。拭目以待
绝不会输的赌博—《数学女孩4》
* 本文节选自《数学女孩4：随机算法》第1章，[日]结诚浩著，江志强译，2019.05出版。
第1章
绝不会输的赌博
我这是在哪儿？
这里是大陆还是小岛？
这里有没有人居住？
这里有没有野兽的威胁？
我，还什么都不知道。
—《鲁滨逊漂流记》
1.1 掷骰子
两个骰子
“我们来比赛吧，哥哥！”尤里叫我。
“好啊，今天比什么？”我回应道。
“我来出题，咱们认真地决一胜负吧！”
掷骰子比赛
爱丽丝和鲍勃各掷一次骰子，掷出点数更大的一方胜出。那么爱丽丝获胜的概率是多少呢？
正值四月，每天都是温暖惬意的日子。此刻我和尤里正在我的房间里。
表妹尤里住在我家附近，上初二——啊不，从今年春天开始就上初三了。也许是从小就经常一起玩耍的原因，她都不叫我“表哥”，而是直接叫我“哥哥”。她扎着马尾辫，头发是栗色的，穿着薄毛衣和牛仔裤。
每逢休息日，尤里都会来我的房间玩。最近我们经常在一起思考数学，解数学题。
“呃 …… 因为对称性（对称性是说爱丽丝和鲍勃在比赛中的地位相同，谁也不比谁占优势，所以获胜的概率相同。但此处主人公大意遗漏了平局的情况，因此得出了错误的结论。——译者注），爱丽丝获胜的概率不就是 嘛。”我回答说。
“错——啦——”尤里露出十分开心的表情。
“啊，不对。两个人——”
“你漏掉了两个人平局的情况。”尤里接过我的话。
“是我大意了。”我说道，“爱丽丝的骰子的点数有 6 种，与之相对应，鲍勃的骰子的点数也有 6 种。也就是说总共有 6 × 6 = 36 种情况。这 36 种情况中每一种情况发生的概率都相同。”
所有情况数 = 爱丽丝的 6 种 × 鲍勃的 6 种= 36 种
我看着点头的尤里，继续解释。
“36 种情况中，爱丽丝和鲍勃的点数相等的情况有 6 种，此时结果为平局。所以能分出胜负的情况就是 36 − 6 = 30 种。这 30 种情况中，一半，也就是 15 种情况下爱丽丝获胜，其余 15 种情况下鲍勃获胜。”
“嗯嗯。”
“所以，爱丽丝获胜的概率就是这样的。”我接着说。
“这次答对啦。爱丽丝获胜的概率是
。哥哥，你漏掉了两个人平局的情况，没想到哥哥也会犯这种低级错误喵～”尤里用猫语说道。
“我也会有失手的时候呀。”
“遇到复杂的问题应该‘用表格来想’，这可是哥哥你告诉我的。”
“确实是这样啊。”竟然因疏忽大意而犯了低级错误，我有些不甘心。
“用图来表示
的话 …… 看，就像这样。”
“嗯 …… 那该我出题了。”我的语气有点强势。
“真是的～你都高三了我才初三，别这么认真啊。”
1.2 抛硬币
1.2.1 两枚硬币
抛两枚硬币
爱丽丝抛出百元硬币和十元硬币 A 各一枚后说：“两枚硬币中至少有一枚是正面的。”
此时，两枚硬币都是正面的概率是多少呢？
译者注：这里的百元硬币和十元硬币指的是日本货币。日本货币中的硬币有 1 日元、5 日元、10 日元、50 日元、100 日元、500 日元六种面值。
“这还不简单。”尤里不假思索地回答。
“是吗？”
“我们已经知道至少有一枚硬币是正面的了，对吧？也就是说，两枚硬币是否都为正面，由另一枚硬币是否为正面决定。那么，概率不就是 嘛。”
“然而错了。概率为 是错的。”
“诶！？”尤里似乎打心眼里吃了一惊，“这不可能！”
“可能。”
“不可能！”
“分析概率问题时，要注意‘观察整体’。”
“绝对是 的嘛。”
“尤里，你在听吗？”
“听着呢，刚刚说要观察整体对吧？”
“对于这个问题，我们要解决的是百元硬币与十元硬币的正反面问题。”
“这个 HH 是？”尤里问我。
“这个啊，H 表示正面，T 表示反面，它们分别对应英文 Head 和Tail。Head 和 Tail 虽然是‘头’和‘尾’的意思，但是也能用来表示硬币的正面和反面。”
“哦哦，我才知道。”
“抛出百元硬币和十元硬币时，发生 HH、HT、TH、TT 这四种情况的概率相同，对吧？”我问她。
“是的。但是 TT 这种情况是不可能的呀，不是已经知道有一枚硬币是正面了嘛。”尤里回答道。
“说得没错。因此，实际上只有 HH、HT、TH 这三种情况中的一种会发生。”
“啊 ……”
“HH、HT、TH 这三种情况中每一种情况发生的概率都是 1/3。其中，两枚硬币都是正面的情况只有 HH 一种。综上所述，所求的概率是 1/3。”
“嗯嗯 ……”沉浸在思考中的尤里，栗色的头发闪耀着金色的光泽。
“正确答案是 1/3。明白了吗？”
“哥哥，爱丽丝说了什么来着？”
“爱丽丝说‘两枚硬币中至少有一枚是正面的’。”
“我明白了！‘至少有一枚’才是关键。爱丽丝口中那枚正面的硬币，可能是百元硬币，也可能是十元硬币，有两种情况。”
“嗯，说得对。至少有一枚硬币为正面的情况有三种。其中两枚硬币都为正面的情况，只有 HH 一种。但是只有一枚硬币为正面的情况却有HT 和 TH 两种。”
“原来如此啊。”
“刚才我也说过了，分析概率问题时一定要注意‘观察整体’。”
1.2.2 一枚硬币
“呜喵！”尤里猛地伸了个懒腰，“我玩腻了。我们抛真正的硬币来定胜负吧！借我一个百元硬币。”
尤里刚接过我递出的百元硬币，便用大拇指将其向上弹起。伴着清脆的声音，银色的硬币笔直地飞起又落下。尤里伸出左手背轻巧地接住硬币，随即用右手捂住。
“尤里，厉害呀。”
“要是正面就算我赢，反面的话哥哥就输了。”
“我明白了 …… 嗯？等一下！”
“切 …… 被你发现了吗？”
“肯定会发现的吧。要是按照你的规则，尤里你岂不是百分百获胜！”
“不啊，你看，硬币要是立起来的话就是哥哥胜！”
“喂喂！”我们相视而笑。
“嘿嘿 …… 这回来真的啊。正面、反面，猜一个？”
尤里把捂住硬币的手“唰”地伸到我面前。
“反面吧。”我有点犹豫。
话音刚落，尤里就松开了手。
“真可惜，是正面。”
“诶？这可是反面呀。印有年号的那一面是反面。”
注：日本造币局规定：为方便起见，印有年号的一面为反面。
“诶诶诶？是这样吗？”
“所以说，是哥哥我赢了吧。”
“你耍赖。”尤里不服输地撅起嘴。
“一点儿都没耍赖好吧？”
“我要给耍赖的哥哥出一个难题！”
这时，从厨房传来我妈妈的声音。
“孩子们，来吃点心啦。”
“来了 — 哼，哥哥被拳击场的铃声救了呢。”
“哪有什么铃声 ……”
“这次先放你一马。”
尤里这样说着，轻快地跑出房间。
呼 ……
我四肢无力，拖着脚步跟随尤里走向餐厅。
1.2.3 彩票的记忆
桌子上摆放着刚做好的装在盘子里的饼干，还有盛在马克杯中的汤。
“这是什么呀 ……”我闻了闻汤的味道说。
“我用新的香料开发出的新作品呀，想听听你们的评价。”妈妈露出得意的神色。
“这味道好奇怪啊。”
“好香啊。”尤里这样说道。
“尤里真是个乖孩子。”
“呜，这个味道实在是 ……”我尝了一小口，嘟囔着。
“真没礼貌！”妈妈抱怨着，“我可是每天都做饭的人。哪像你，前几天让你做个奶油炖菜，面粉都没搅拌开，最后全都结成疙瘩了。就你这个样子，还想对我做出来的东西指指点点吗？”
“说是让我做饭，实际上是把我强行拽到厨房吧。”我反驳道，“还有，刚才明明是您让我们说感想的 ……”
“你连把所有材料搅拌均匀这点小事都做不好。”妈妈无视了我的反驳，“对了，还有元旦的时候也是，让你照看煮豆子的锅，结果煮得太久，锅都被烧糊了。”
“当时我读书读得入迷，不知不觉就忘了要关火这回事 ……”
“哥哥，你快点学会做家务吧。”尤里说道，“不然尤里也放心不下你呀。”
“说什么呢？”啊啊真是的，对话变得越来越复杂。
“这孩子有在好好教你学习吗？”妈妈问尤里。“这孩子”指的是我。
“嗯，哥哥刚刚还给我讲了概率的问题。”尤里答道。
在这种时候，尤里总是显得聪明机灵，懂得对大人露出一张爽朗的笑脸。
“说到概率，车站前在卖‘春天的彩票’呢，我看到那里贴了一张大海报。”妈妈说。
“是写着‘本店诞生了一等奖！’的海报吧？”我说道。
海报整体为手写风格，在“一等奖”三个字上面还加了“◎◎◎”这样的记号。
“那家店的中奖概率会不会比较高啊？”妈妈将信将疑。
“不，那是不可能的，妈。”我说，“可不要被‘诞生了一等奖’这种话迷惑了呀。”
“是这样的吗？可既然是中过奖的店，中奖的概率应该会高一点吧？”
“数学上没有这种说法。”
“但是，这家店也可能是被彩票女神眷顾了呀！”
“哎呀，妈 …… 彩票是没有记忆力的啊。之前哪家店中了奖哪家店没中，彩票是不知道的。别上那种海报的当。”
“但是 ……”妈妈好像还没有想通。
“哥哥。”刚喝完汤的尤里说，“海报上写的是‘本店诞生了一等奖’，对吧？”
“是的。”
“从数学的角度来看，海报上的说法也没什么不对吧。”
“此话怎讲？”不仅妈妈，怎么连尤里也这么说 ……
“就是 ……‘本店诞生了一等奖’这是事实吧，海报上也没写‘在本店买彩票会更容易中奖’啊，对吧？”
“…… 没错。”我无法否定，“这样一来，反而是购买彩票的人的错喽？是他们误会了海报的意思，是他们自作主张？这真是太狡猾了。”
“说的是呢。”
“有许多概率问题都与我们的直觉相悖。如果不仔细计算，很容易被欺骗。”
“先别在意那个了，快把汤喝了吧。”妈妈对我说。
1.3 蒙提霍尔问题
1.3.1 3 个信封
好不容易把汤都咽了下去，我才和尤里回到房间。
“说到概率，就不得不提到蒙提霍尔问题 了。”我说。
蒙提霍尔问题
主持人在桌子上摆好 3 个信封。
主持人： “这 3 个信封中，有 1 个信封里装有礼品券，其余 2 个信封是空的。那么，你选哪一个呢？”
你选择了 1 个信封并拿到手中。
正当你想要打开信封的时候，主持人示意你停下，然后这样说道。
主持人： “我知道哪些信封是空的。作为提示，我将从桌子上剩下的2 个信封当中选择 1 个打开。如果装有礼品券的信封还在桌子上，我就会打开另一个空的信封；如果桌子上的 2 个信封都是空的，我就会随机选取其中的 1 个打开。”
主持人从桌子上的 2 个信封中选取了 1 个打开。的确，那是个空信封。
主持人： “现在你可以坚持你的选择，拿走最开始选取的信封，也可以和桌子上剩下的信封交换。你会怎样选择呢？”
你很想要礼品券。所以，是继续选择最开始拿到的信封好，还是和桌子上剩下的信封交换好呢？
“这是不可能遇到的场景喵。”尤里否定得毫不犹豫。
“不，这是在电视节目《一锤定音》( 译者注：《一锤定音》（Let’s Make a Deal），斯蒂芬·豪托什（Stefan Hatos）和蒙提·霍尔（Monty Hall）于 1963 年创办 的美国电视 游 戏 节 目，蒙 提·霍尔在 随后多年（1963 年至 1986 年，1991 年）都主持了该节目。)中实际出现过的场景。只不过，据说节目中使用的道具不是礼品券和空信封，而是轿车和山羊。”
“山羊！山羊好棒喔。我好想要啊～”
“呃，山羊是猜错的那一种啊。”
“问题叫什么来着，好像是蒙提霍尔问题？”
“蒙提·霍尔是节目主持人的名字。”
“哦哦。对了哥哥，即便主持人打开了空信封，也不会发生最开始选择的信封里礼品券消失，或者突然出现了礼品券这种情况，对吧？”
“是的。”
“这样的话，交换信封什么的不就完全没有意义了吗 …… 我明白了，这是个陷阱问题！虽然问题问的是‘你是继续选择最开始拿到的信封好，还是和桌子上剩下的信封交换好’，但是答案实际上是‘无论选哪一个，结果都是一样的’— 哥哥是想抖这样一个机灵喵！”
“你真是深度解读了呢 …… 那么尤里的答案是？”
“人家的答案是，不论是否交换，中奖的概率都一样！”
“错 — 啦 —”我模仿着尤里的语气。
“诶？怎么会错呢？”
“正确答案是，与剩下的信封交换更好。”
“诶！交换会更好吗？”
“是这样的。”
“一定？”
“一定。只要列举出所有的情况就能明白啦。我们将 3 个信封分别命名为 A、B、C，用表格来想。猜中时用‘ ○ ’表示，猜错时用‘ × ’表示。”
“嗯，确实是这样。”尤里点了点头。
“这 3 种情况发生的概率相等，都是 1/3。”我接着说，“这 3 种情况各自对应的选择方法也有 3 种。我们重新列一个表吧，给我们选择的信封
加上‘’。”
“原来如此喵～”
“一共有 3 × 3 = 9 种情况，每种情况发生的概率相等，都是 1/9。接下来，如果开始的时候你选到了中奖的信封，主持人会从剩余的 2 个空信封中选择 1 个打开，对应 2 种情况。此时，概率 1/9分为两份，每种情况各1/18 。”
“嗯嗯 ……”
“若是一开始你选到了空信封，主持人只能选择剩下的 1 个空信封打开，这只有 1 种情况，概率保持 1/9不变。因为有点难以理解，我们还是把它整理成表格。将一定会发生的概率 1，按 1→1/3→1/9→ 1/18 这样分解。”
“实在是麻烦喵～”尤里嘴上这么说着，脸却凑到笔记本前，全神贯
注地看着我新列出的表格。“然后呢？”
“然后呀，‘[ ○ ]’表示当你一直持有最初的信封时中奖的情况。”
一直持有最初的信封时中奖的概率
“看，和人家说的一样，抽中的概率确实是 吧。”
“同理，可以通过求所有‘[ × ]’的概率之和，来求得交换信封后抽中的概率。”
选择交换信封后中奖的概率
“…… 原来如此。”
“于是结果为
一直持有最初的信封时中奖的概率 = 1/3
选择交换信封后中奖的概率 = 2/3
综上所述，交换信封是更好的选择，对吧？”
“嗯，道理是理解了 …… 但是，总感觉理解得还不够透彻。”
尤里把两手叉在脑后，露出有些不满的表情。
“喔，也是啊。易于理解的讲法也有很多啦。比方说，我们假定信封的数目不是 3 个，而是 1 万个，装有礼品券的信封只是其中的 1 个。”
“说什么呢 …… 哈哈哈哈。”没绷住脸的尤里一下子笑了出来。
“你从 1 万个信封中选择 1 个拿到手中，然后主持人在剩下的 9999 个信封中打开 9998 个空信封。此时，和剩下的信封交换更好，对吧？”
“那 肯 定 是 交 换 更 好 了。因 为 最 开 始 选 择 的 信 封 的 中 奖 概 率 只 有1/10000。想猜对几乎是不可能的啊。”
“是的。”我示意尤里接着说下去。
“剩下 9999 个信封，其中包含装有礼品券的信封的概率是 9999/10000。接着，主持人一边注意装有礼品券的信封，一边将其余 9998 个信封接二连三地打开。猜错的概率是 …… 人家也说不明白啦。”
“在不打开装有礼品券的信封的前提下，主持人打开了 9998 个信封。换 句 话 说 就 是，将 9999 个 信 封 中 包 含 装 有 礼 品 券 的 信 封 的 概 率9999/10000，浓缩进剩下的 1 个信封当中。”
“就像把豆子熬干那样？”尤里坏笑着说。
“…… 呃，就是那样。3 个信封时也可以用同样的方法思考。一开始选到中奖信封的概率为 1/3。反过来说，桌子上有中奖信封的概率是2/3 。主持人打开空信封，就相当于把桌子上有中奖信封的概率 2/3，熬干浓缩进剩下的 1 个信封里。”
“嗯～嗯～”尤里点着头，看来是理解了。
“因此，蒙提霍尔问题的本质是：
• 选择手上的中奖概率为1/3 的信封。或是，
• 选择桌子上的中奖概率被熬干浓缩至 2/3的信封。”
“你倒是最开始就这样讲啊。”
唉 ……
1.3.2 上帝视角
“话说回来，哥哥，‘用表格来想’真是个好办法。”
“嗯，是啊。‘用表格来想’也是为了‘观察全体’而采用的诸多方法中的一种。可以说是‘上帝视角’吧。”
“上帝视角？上帝什么都能看到吗？连未来也能？”
“不是说上帝是全知全能的嘛，应该能看到吧。”
“那么，尤里是否会解这道题、将来会跟谁结婚、什么时候会死，上帝也全都能看到喽？”
“也许吧，上帝连尤里在家有没有好好学习都会知道。”
“呜——”
“初三正是要中考的年级。”我指着尤里说道。
“啊，真是的，别让我想起不开心的事儿啊 …… 看我反击！哥哥你作为高三学生，正处在要高考的年级。”尤里反过来指着我说。
“呜哇。”我夸张地叫了一声 …… 实际上，也确实被戳到了痛处。
“中考倒是无所谓啦。”尤里说着，“遗憾的是，就要和米尔嘉大人还有哥哥分开了，你们要毕业了。”
“还有泰朵拉在呢。”
“说的也是。不过，那时泰朵拉也要上高三了。”
“能找到可以畅谈自己所思所想的伙伴是非常可贵的。”
“…… 嗯，可以畅谈自己所思所想的伙伴 ……”
尤里突然陷入了沉默。
嗯，确实是这样。
能找到可以畅谈自己所思所想的伙伴非常可贵。
因为与她们相遇，我的日常生活发生了翻天覆地的变化。
踏入高中之前，我从未想过会这样度过每一天。
对我来说，可以畅谈所思所想的伙伴，便是可以畅谈数学的伙伴吧。
与米尔嘉邂逅在高一的春天。
与泰朵拉相遇在高二的春天。
我不知道未来会怎样。
也不知道明天会发生什么。
“对了，哥哥 ……”
“嗯？”
“我有些事情想问你 ……”
尤里一边用手指绕着头发，一边吞吞吐吐地说。这情景实属罕见。
“怎么啦？突然这个样子。”
“mamome·momiimyan·myaa……”
“你念的是什么奇怪的咒语呀。”
“哥哥 ……”
“嗯？”
“你 …… 被亲过吗？”
如果一个立方体的所有面都是完全相同的，
我们还怎么能说出哪一个面会朝上呢？
—《具体数学：计算机科学基础（第 2 版）》
注：《数学女孩》1和2暂时缺货，正在重印中，购买四本套装预计24日发货。
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